最佳约会策略及其证明

2019-08-10 12:57:24 围观 : 104

  

最佳约会策略及其证明

  下面将证明:最佳约会策略里提到策略,忽略前37%的对象,然后在剩下的对象里挑第一个比前37%都好的对象,这个策略是最优的。更准确地,我们将证明:任何约会策略的成功概率都不可能超过un∑n−1i=u1i,其中u为满足∑n−1i=u1i≥1的最大值。这个u大约为37%,最后成功的概率大约为40%。 一个简单而且自然的方法是,待定k,与前k个人约会,不做任何选择。继续约会直到遇到比这前k个人还好的那个人为止。 随机策略是确定性策略的随机组合,所以任何一个随机策略的胜率都不会超过其中最好的确定性策略的胜率。所以我们只需要对确定性策略证明上述胜率上届。 等号成立时必须有∀i≤u都有ti=0,亦即策略需忽略前u项,并且∀iu有∑i−1j=1tj+iti=1,递推可知最佳约会策略是唯一的最优的策略。 从上面的事实,我们计算{1,2,⋯,i}的最后一位为i的排列个数。任何一个属于Sj的排列都可以扩充为(i−1)!j!个这样的排列,并且所有这些这样扩充后的排列都互不相同。因此: 通过概率计算得出,这个方法比我们想象中要好得多。通过选取合适的k=n/e~0.37n~7,有接近40%的机会选中最好的那位,有几乎70%的机会选中最好或者次好的那位。 而首先,我们需要对一个约会策略建模。任何一个策略面对一个约会对象的序列,这个序列可视作一个排列组合。策略一项一项检验这个排列组合,并且决定在什么时候停止。假设这个策略在检查α时停止在第k项,那么该策略只知道α的前k项的相对顺序,也就是Fk(α),便决定停止。令Sk∈∏k为所有这样的Fk(α),并令sk=Sk。我们也称S=S1∪S2∪⋯∪Sn为策略的停止集。 这个问题在日常生活中有更多应用。比如你打算在30岁前结婚,现在20岁。那么在24岁前先别确定目标,24岁以后遇到比之前都好的就可以定下来。这几乎就是你能达到最好的结果了——假设你的候选人在这十年是均匀或者随机出现的。 以上所用都是爱情和婚姻的简化模型,没有考虑爱情中的主观因素。所以,请只把它当作一个脑力游戏。 显然,对于任意α∈Sk, 都有n!k!个排列比它大。这其中,有(n−1)!(k−1)!个排列被策略成功找出最大值(即第k项为n)。所以策略在第k项停止并成功的概率为: 如果同为停止集元素的排列α是另一个停止集元素β的子排列,那么当策略在遇到β时,策略将直接停止在第i个元素,不会等到第j个元素才停止,从而β不可能也是停止集合的成员。 我们可以定义排列之间的半有序关系。意大利皮鞋为什么好一双鞋让100位女士试穿才生。对于任何两个排列α∈∏a和β∈∏b,如果a≤b并且α的前a项的大小顺序和β一样(即对任意1≤i,j≤a都有αiαj⇔βiβj),我们则认为α≤β,我们也可以用另外一种说法,满足这样的条件的α被认为是β的字排列。 从上面概率等式看,一个策略的停止集越大越好。现在我们需要指明一个事实,这是证明我们结论的关键。一个策略的停止集S并不能无限制的大,它必须满足其中的任意一个排列都不能是另外一个排列的字串,即对任意ij,α∈Si且β∈Sj,α不可能是β的自排列。 关系定得太早,会因为第2条假设——精彩的还在后头,定得太晚,会因为第3条——而后悔莫及。